Mathématique et exercices. (IM1Math)

Objectifs :

Après un bref rappel des quelques notions d'algèbre et de trigonométrie, le cours aborde de manière systématique l'étude des principales fonctions rencontrées dans le domaine scientifique (fonctions algébriques, trigonométriques, exponentielles et logarithmiques).  Des notions de calcul différentiel et intégral sont abordées sur le plan technique et sont appliquées à la résolution de problèmes types (études complètes de fonctions, calculs d'aires et de volume, équations différentielles).

Compétences :

connaissances scientifiques et rigueur
Compétence technique (précision, rigueur, fiabilité)
Capacité de compréhension face à un problème
Capacité d'élaboration d'une réponse à un problème
Capacité d'adaptation à de nouvelles situations
Maîtrise transversale de la discipline
Capacité de renouveler, enrichir ses connaissances
Capacité d'abstraction

Prérequis :

/

Contenu du cours :

• Introduction : Eléments d'algèbre et de trigonométrie

        Rappels d'algèbre : Inégalités - valeurs absolues - intervalles - équations et inéquations - système de coordonnées -

        représentation analytique et représentation graphique - symétrie des courbes - cercles - droites

        Rappels de trigonométrie : Généralités - fonctions trigonométriques - identités

• Chapitre 1 : Fonctions numériques de variable réelle - 1° partie : Généralités

        Définitions

        Propriétés des fonctions : Parité - fonction croissante ou décroissante - fonction périodique

        Opérations sur les fonctions : Somme - différence - produit - quotient - composition de fonctions - fonction réciproque

        Principales fonctions algébriques : Fonctions constantes - fonctions linéaires - fonctions puissances entières et rationnelles -

        fonctions polynômes - fractions rationnelles - fonctions irrationnelles

• Chapitre 2 : Fonctions numériques de variable réelle - 2° partie : Fonctions transcendantes et leurs réciproques

        Fonctions trigonométriques élémentaires : Fonctions sinus, cosinus, tangentes et leurs inverses

        Fonctions trigonométriques réciproques : Fonctions arcos(x), arcsin(x), arctg(x)

        Fonctions logarithmes et exponentielles : Définition - fonctions loga(x), ax, ln(x), ex

        Calcul logarithmique - equations exponentielles et logarithmiques

• Chapitre 3 : Limites et continuité

        Limites : Définitions - limites finies et infinies - limite à gauche - limite à droite - techniques de calcul des limites - formes indéterminées

        Continuité : Définitions - continuité à gauche, à droite, sur un intervalle - discontinuités - théorèmes sur la continuité

• Chapitre 4 : Dérivation

        Définitions : dérivée en un point - dérivée à gauche - dérivée à droite - fonction dérivée

        Recherche des fonctions dérivées - dérivée logarithmique - accroissements et différentielles

• Chapitre 5 : Applications de la dérivée

        Théorèmes relatifs aux fonctions dérivables - étude de la dérivée première (sens de variation d'une fonction, maxima et minima,

        tangentes) - étude de la dérivée seconde (points d'inflexion, concavité) - asymptotes - études complètes des fonctions d'une variable

        réelle - problèmes d'optimisation et mises en équation - méthode de Newton

• Chapitre 6 : Primitivation

        Fonctions primitives - méthodes de primitivation (par décomposition, par parties, par changement de variable) - méthodes particulières

        (expressions irrationnelles, fractions rationnelles d'expressions trigonométriques, produits de puissances de fonctions trigonométriques,

        substitutions trigonométriques)

• Chapitre 7 : Intégration

        Définition de l'intégrale - Propriétés de l'intégrale (formule de la moyenne, partage de l'intervalle d'intégration) -

        Relation entre primitives et intégrales - Calculs d'aires (surfaces planes, intégrales convergentes ou divergentes) -

        Calculs de volumes (via les disques circulaires, via les tubes cylindriques)

• Chapitre 8 : Equations différentielles

        Définitions - Equations différentielles du premier ordre (du type y' = ϕ (x), à variables séparables, homogènes, linéaires) -

        Equations différentielles du second ordre (du type y'' = ϕ (x), linéaires à coefficients constants)

• Chapitre 9 : Développement limité de f ( x)

        Formules de Taylor et de Mac Laurin - Développement de f (x) suivant les puissances de x - Développement de sin(x), cos(x),

        arcsin(x), arccos(x), arctg(x), ln (1+x), ex - Applications

Méthode d'enseignement :

• 
  Exposés
  


• 
  Exercices (travaux dirigés)
  

Lectures recommandées :

SWOKOWSKI, "Analyse", Ed. De Boeck - Université, Bruxelles 1993SWOKOSWKI, "Algèbre et trigonométrie", Ed. De Boeck - Université, Bruxelles 1999J. BAIR, "Mathématiques générales", Ed. De Boeck - Université, Bruxelles 1993

Méthode d'évaluation :

• 
  Examen écrit
  


• 
  Evaluation continue