Mathématiques (Ch1Math)

Objectifs :

Après un bref rappel de quelques notions d'algèbre et de trigonométrie, le cours aborde de manière systématique l'étude des principales fonctions rencontrées dans le domaine scientifique (fonctions algébriques, trigonométriques, exponentielles et logarithmiques).  Des notions de calcul différentiel et intégral sont abordées sur le plan technique et sont appliquées à la résolution de problèmes types (études complètes de fonctions, calculs d'aires et de volume, équations différentielles).    

Compétences :

connaissances scientifiques et rigueur
Capacité de compréhension face à un problème
Capacité d'abstraction

Prérequis :

  

Contenu du cours :

Introduction : Eléments d'algèbre et de trigonométrie

Rappels d'algèbre : Inégalités - valeurs absolues - intervalles - équations et inéquations - système de coordonnées - représentation analytique et représentation graphique - symétrie des courbes - cercles - droites

Rappels de trigonométrie : Généralités - fonctions trigonométriques - identités

Chapitre 1 : Fonctions numériques de variable réelle - 1° partie : Généralités

Définitions

Propriétés des fonctions : Parité - fonction croissante ou décroissante - fonction périodique

Opérations sur les fonctions : Somme - différence - produit - quotient - composition de fonctions - fonction réciproque

Principales fonctions algébriques : Fonctions constantes - fonctions linéaires - fonctions puissances entières et rationnelles - fonctions polynômes - fractions rationnelles - fonctions irrationnelles

Chapitre 2 : Fonctions numériques de variable réelle - 2° partie  : Fonctions transcendantes et leurs réciproques

Fonctions trigonométriques élémentaires : Fonctions sinus, cosinus, tangentes et leurs inverses

Fonctions trigonométriques réciproques : Fonctions arcos(x), arcsin(x), arctg(x)

Fonctions logarithmes et exponentielles : Définition - fonctions loga(x), ax, ln(x), ex

Calcul logarithmique - equations exponentielles et logarithmiques

Chapitre 3 : Limites et continuité

Limites : Définitions - limites finies et infinies - limite à gauche - limite à droite - techniques de calcul des limites - formes indéterminées

Continuité : Définitions - continuité à gauche, à droite, sur un intervalle - discontinuités - théorèmes sur la continuité

Chapitre 4 : Dérivation

Définitions : dérivée en un point - dérivée à gauche - dérivée à droite - fonction dérivée

Recherche des fonctions dérivées - dérivée logarithmique - accroissements et différentielles

Chapitre 5 : Applications de la dérivée

Théorèmes relatifs aux fonctions dérivables - étude de la dérivée première (sens de variation d'une fonction, maxima et minima, tangentes) - étude de la dérivée seconde (points d'inflexion, concavité) - asymptotes - études complètes des fonctions d'une variable réelle - problèmes d'optimisation et mises en équation - méthode de Newton

Chapitre 6 : Primitivation

Fonctions primitives - méthodes de primitivation (par décomposition, par parties, par changement de variable, lectures dans des tables de primitives)

Chapitre 7 : Intégration

Définition de l'intégrale - Propriétés de l'intégrale (formule de la moyenne, partage de l'intervalle d'intégration) - Relation entre primitives et intégrales - Calculs d'aires (surfaces planes, intégrales convergentes ou divergentes) - Calculs de volumes (via les disques circulaires, via les tubes cylindriques)

Chapitre 8 : Equations différentielles

Définitions - Equations différentielles du premier ordre (du type y' = f (x), à variables séparables, homogènes, linéaires) - Equations différentielles du second ordre (du type y'' = f (x), linéaires à coefficients constants)

Méthode d'enseignement :

Exposés

Exercices (travaux dirigés)

Lectures recommandées :

- SWOKOWSKI

Analyse, De Boeck Université, Bruxelles, 1993

- SWOKOSWKI

Algèbre et trigonométrie,  De Boeck Université, Bruxelles, 1999

- BAIR, J.

Mathématiques générales, De Boeck Université, Bruxelles 1993

Méthode d'évaluation :

Examen écrit

Evaluation continue